一个正四棱锥和一个正方体.它们有半径相同的内

一个正四棱锥和一个正方体.它们有半径相同的内夸夸家乡作文

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分析设球的半径为1,则正方体棱长为2,根据正四棱锥与内切球的关系,列方程得出正四棱锥的底面边长和高的关系,代入棱锥的体积公式求出V1的最小值.解答解:设球的半径r=1,则正...

分析 设球的半径为1,则正方体棱长为2,根据正四棱锥与内切球的关系,列方程得出正四棱锥的底面边长和高的关系,代入棱锥的体积公式求出V1的最小值.

解答 解:设球的半径r=1,则正方体的棱长为2r=2,∴V2=23=8
作正四棱锥过高SO和底面对边中点的截面SEF,则球的大圆为等腰三角形SEF的内切圆.
设正四棱锥的底面边长为a,高为h,则OE=PE=$\frac{a}{2}$,PM=MO=1,SM=h-1,SE=$\sqrt{{h}^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}}$,
∴SP=$\sqrt{(h-1)^{2}-1}$=$\sqrt{{h}^{2}-2h}$.
∴$\sqrt{{h}^{2}-2h}$+$\frac{a}{2}$=$\sqrt{{h}^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}}$,即h2-2h+$\frac{{a}^{2}}{4}$+a$\sqrt{{h}^{2}-2h}$=h2+$\frac{{a}^{2}}{4}$,
∴a=$\frac{2h}{\sqrt{{h}^{2}-2h}}$.
∴V1=$\frac{1}{3}$a2h=$\frac{4}{3}$•$\frac{{h}^{2}}{h-2}$=$\frac{4}{3}$•(h-2+$\frac{4}{h-2}$+4)≥$\frac{4}{3}×(2\sqrt{4}+4)$=$\frac{32}{3}$.
∴k=$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$\frac{{V}_{1}}{8}$≥$\frac{4}{3}$.
故答案为:$\frac{4}{3}$.

点评 本题考查了棱柱,棱锥与内切球的位置关系,棱锥的体积计算,属于中档题.

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